Составление системы уравнений, описывающих процессы функционирования правой половины сердца

Исходя из уравнений динамики и газовых законов, составим систему дифференциальных уравнений, описывающую данную модель:

Полая вена:

)Уравнение движения поршня с пружиной, которое имитирует жесткость сосудов полой вены:

Правое предсердие:

)Движение верхнего поршня, моделирующее воздействие со стороны электрической системы регуляции:

; (2)

Правый желудочек.

) Движение верхнего поршня, моделирующее воздействие со стороны электрической системы регуляции:

Легочная артерия:

) Уравнение движения поршня с пружиной, которое имитирует жесткость сосудов легочной артерии:

Согласно закону сохранения энергии, вся полезная работа сердца переходит в энергию крови. Поэтому полную работу сердца за систолу можно рассчитать как сумму потенциальной и кинетической энергий крови. В покое “кинетическая” часть работы сердца составляет лишь 2-5% от полной работы сердца, поэтому при расчетах ею можно пренебречь.

Тогда уравнения, описывающие изменения давлений в сердце, примут вид:

) Уравнение давления в полой вене:

; (5)

) Уравнение давления в правом предсердии:

; (6)

) Уравнение давления в правом желудочке

; (7)

8) Уравнение давления в легочной артерии:

; (8)

) Воздействие электрической системы авторегуляции преобразуется в механическое. Силы управления задаются следующим образом:

Для правого предсердия:

(9)

Для правого желудочка:

(10)

) Согласно закону сохранения массы можно записать:

, (11)

где - объемный расход,

- изменение объема по времени,

- изменение давления, обусловленное сжимаемостью ( В- объемный модуль упругости - величина обратная коэффициенту сжимаемости).

Для моделируемого процесса составляющей следует пренебречь, поскольку кровь рассматривается как несжимаемая жидкость. Тогда уравнение, описывающее изменение объема камер сердца, примет вид:

. (12)

С другой стороны уравнение расхода жидкости можно записать следующим образом:

, (13)

где - плотность жидкости,

- площадь сечения отверстия,

- скорость течения жидкости.

Скорость можно выразить через разность давлений:

, (14)

тогда

; (15)

Таким образом, кровь перекачивается из области высокого давления в область более низкого давления.

Кровь по всей системе кровообращения течет лишь в одном направлении, чему способствует наличие клапанов в сердце, препятствующих обратному току крови.

Для разрабатываемой модели S - площадь отверстия, закрываемого дисковым клапаном:

, (16)